Der Differenzenquotient
Definition: Gegeben ist eine Funktion f auf einem Intervall I=[a;b]. Der Quotient (f(b)-f(a)) : (b-a) heißt Differenzquotient von f auf dem Intervall I=[a;b]
Der Differenzquotient entspricht der Steigung der Sekante durch A(a | f(a)) und B(b | f(b))
Der Differenzquotient entspricht der mittleren Änderungsrate von f
Rechnerische Bestimmung der Ableitung
Es gibt zwei Methoden, die x-Methode und die h-Methode
Beispiel: f(x)=x2, gesucht ist die Ableitung an der stelle a
x-Methode
h-Methode
Die Ableitungsfunktion
Definition: Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f, mit Definitionsmenge Df. Dann heißt die Funktion f, die jedem x ∈ D die Ableitung f'(x) zuordnet Ableitungsfunktion von f.
Ableitungsregeln
Potenzregel
Für eine Potenzfunktion f(x)=xr mit r ∈ R, r ≠ 0
f'(x)=r•xr-1
Summenregel
Eine Funktion f=g+h hat die Ableitung f’ = g’ + h’. Dies gilt für alle Stellen x, an denen g
Faktorregel
Eine Funktion f=c•g hat die Ableitung f’=c•g’. Dies gilt für c ∈ R und alle Stellen x, an denen g differenzierbar ist.
Satz
Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vom Grad n (n≥1)
Tangeten
Die Tangentengleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt A(a | f(a)) erhält man mit dem Ansatz
y = mx+c
- Zuerst bestimmt man die Steigung m
m=f'(a) - Dann bestimmt man den y-Achsenabschnitt über eine Punktprobe mit A:
f(a)=ma+c -> auflösen nach c
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