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Inhaltsverzeichnis:
- Mitternachtsformel
- Quadratische Funktionen
- Bestimmen Extremaler Werte
- Binomische Formeln
- Normaldarstellung (Wissenschaftliche Darstellung) [Potenzen]
- Exponentialgleichung (Logarithmus)
- Exponentielles Wachstum
- Verdopplungs- / Halbwertszeit
- Berechnungen am Rechtwinkligen Dreieck
- Sinus, Kosinus, Tangens
- Körper
- Stochastische Unabhängigkeit
- Sonstiges
Mitternachtsformel
![Quadratische Gleichung, mit Markierung welche Zahl wo in die Mitternachtsformel eingesetzt werden muss](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=216x10000:format=jpg/path/s946578de5fc1ded8/image/if4086bc3e1c804dd/version/1540126875/quadratische-gleichung-mit-markierung-welche-zahl-wo-in-die-mitternachtsformel-eingesetzt-werden-muss.jpg)
Habt ihr eine Gleichung in dieser Form, dann setzt ihr a, b und c in folgende Formel ein.
Dabei ist:
- a immer die Zahl vor dem x hoch 2.
- b immer die Zahl vor dem x (ohne hoch 2)
- c immer die Zahl ganz ohne x
![Mitternachtsformel zum Lösen von quadratischen Gleichungen](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=269x10000:format=jpg/path/s946578de5fc1ded8/image/i647a4eb324e066d8/version/1556295318/mitternachtsformel-zum-l%C3%B6sen-von-quadratischen-gleichungen.jpg)
Das ± bedeutet, dass ihr die Formel zweimal rechnen müsst, nämlich einmal mit – und einmal mit +. Es kann nämlich bei quadratischen Gleichungen zwei Lösungen geben. Beispiele findet ihr weiter unten.
Wichtiger Hinweis: Sollte unter der Wurzel etwas negatives rauskommen, dann hat diese Gleichung keine Lösung. Es gibt also keinen Wert für x, wofür die Gleichung dann 0 ergibt.
Beispiele
![Beispiel für eine quadratische Gleichung die mit der Mitternachtsformel gelöst werden kann](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=179x10000:format=jpg/path/s946578de5fc1ded8/image/i8afc98fc75e1d855/version/1556295348/beispiel-f%C3%BCr-eine-quadratische-gleichung-die-mit-der-mitternachtsformel-gel%C3%B6st-werden-kann.jpg)
Ihr habt diese Gleichung gegeben.
![Erläuterung welche Zahlen wo in die Mitternachtsformel eingesetzt werden müssen](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=215x10000:format=jpg/path/s946578de5fc1ded8/image/i1d672a4866f594a0/version/1556295380/erl%C3%A4uterung-welche-zahlen-wo-in-die-mitternachtsformel-eingesetzt-werden-m%C3%BCssen.jpg)
Bestimmt jetzt a, b und c.
![Beispiel für das Einsetzen der Zahlen in die Mitternachtsformel](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=253x10000:format=jpg/path/s946578de5fc1ded8/image/i3927784ce9fb091b/version/1556295446/beispiel-f%C3%BCr-das-einsetzen-der-zahlen-in-die-mitternachtsformel.jpg)
Setzt die Werte für a, b und c in die Mitternachtsformel ein und vereinfacht so weit wie möglich.
![Lösungen der Gleichung durch die Mitternachtsformel](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=245x10000:format=jpg/path/s946578de5fc1ded8/image/i67412e152b692db4/version/1540127025/l%C3%B6sungen-der-gleichung-durch-die-mitternachtsformel.jpg)
Jetzt berechnet ihr es einmal für + und einmal für –. Nun habt ihr beide mögliche Lösungen. Übrigens ist es egal, ob bei x1 oder x2 minus/plus gerechnet wird.
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Quadratische Funktion
Aufschrieb HerunterladenAnwendungHerunterladenAnwendungHerunterladen
Normal Parabel
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel
Der Graph mit der Vorschrift y=x² heißt Normalparabel mit dem Scheitel S(0|0). Die Normalparabel ist nach oben geöffnet.
Allgemeine Form
f(x)=ax²+bx+c | Der Streckfaktor a kann aus beiden Gleichungen abgelesen werden
Ist eine Parabel gestreckt gilt im Vergleich zur normal Parabel:
a > 1 | nach oben geöffnet | enger als die Normalparabel |
0 < a < 1 | nach oben geöffnet | weiter als die Normalparabel |
-1 < a < 0 | nach unten geöffnet | weiter als die Normalparabel |
a < -1 | nach unten geöffnet | enger als die Normalparabel |
Scheitelform
f(x)=a(x−d)²+e | Hier kann der Scheitel abgelesen werden S(d | e)
Auch hier gilt die oben stehende Tabelle
Wird eine Parabel mit dem Scheitel S(0 | 0) im Koordinatensystem um d in x-Richtung und um e in y-Richtung verschoben, hat die verschobene Parabel die Gleichung f(x)=a(x−d)²+e
Von der allgemeinen Form zur Scheitelform
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/image-1024x735.png)
Vorgehen
- Verschiebe die Parabel so, dass sie durch den Ursprung verläuft. Also um -3 in y-Richtung
y=x²-3x - Bestimme die Nullstellen
y=0
=> x²-3x = 0
x * (x-) = 0
Satz vom Nullprodukt: x1 = 0, x2 = 3 - Bestimme daraus den x-Wert des Scheitels. xS = 1,5 denn der Scheitel liegt genau zwischen den Nullstellen
- y-Wert bestimmen in dem man xS einsetzt
y=x²-3x+3
x2=1-5
=> y=1,5²=3*1,5+3
y=0,75
=> S(1,5 | 0,75) - Scheitelform: y=a*(x-d)²+e
y=a*(x-1,5)²+0,75
Selbst üben
Übungen zu Quadratischen Funktionen
Bestimmen extremaler Werte
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/Bildschirmfoto-2021-08-11-um-09.58.20.png)
Aufgabe
Geg: 20m Drahtzaun
Ges: Bei welcher Breite wird das Gehege maximal groß
Allgemeines Vorgehen
- Wie lautet eine Formel für die Größe die extremal werden soll?
- Drücke die gesuchte Größe in einer einzigen Variablen aus
- Bestimme das Maximum bzw. Minimum der Zielfunktion
- Formuliere eine Antwort auf die gestellte Frage
Auflösung der Aufgabe
1. A=a⋅b
2. a=20-2⋅b
A=(20-2⋅b)⋅b
A=20b-2b²
3. Nullstellen bestimmen
A=0
20b-2b²=0
b⋅(20⋅2b)=0
b1=0
b2=10
bS=5 (Scheitelpunkt)
Ergebnis: Die Breite des Geheges sollte 5m betragen, damit es den größt möglichen maximal Wert hat.
Binomische Formeln
- (a+b)² = a²+2ab+b²
- (a-b)² = a²-2ab+b²
- (a+b)*(a+b)=a²-b²
Normaldarstellung (Wissenschaftliche Darstellung) [Potenzen]
Potenzen-mit-ganzen-HochzahlenHerunterladenPotenzen-mit-gleichen-GrundzahlenHerunterladenPotenzieren-von-PotenzenHerunterladen
Man benutzt diese Darstellung mit Zehnerpotenzen um sehr große / sehr kleine Zahlen darzustellen.
- Gewicht der Erde
5,972⋅1024 = 59720000000000000 - 1,43⋅10-6mm = 1,43 ⋅ (1:106mm) = 0,00000143
Exponentialgleichungen (Logarithmus)
Arbeitsblatt aus dem UnterrichtHerunterladen
Der Logarithmus zur Basis 2 von 8, man schreibt dafür log2(8), ist diejenige Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, damit man 8 erhält: log2(8) = 3, da 23 = 8
Exponentielles Wachstum
Exponentielles-WachstumHerunterladen
Wichtige Begriffe:
P: Prozentuale Änderung pro Zeiteinheit
a: 1+p
- “Zerfall”: p < 0
Abnahme um 2,5% –> -0,025
a = 1-0,025 = 0,975 - “Wachstum”: p > 0
Wachstum um 35% –> 0,35
a = 1+0,45 = 1,35
Verdopplungszeit / Halbwertszeit
Verdopplungszeit / HalbwertszeitHerunterladen
Verdopplungszeit
Tv: Feste Zeitspanne, bei der sich der Bestand (Bei a > 0) verdoppelt
Es gilt:
c⋅at+Tv = 2⋅c⋅at
c⋅at⋅aTv = 2⋅c⋅at
aTv = 2
Tv = Loga(2)
Halbwertszeit
Th: Feste Zeitspanne, in der sich der Bestand (bei a < 0) halbiert
Es gilt:
c⋅at+Th = 0,5⋅c⋅at
c⋅at⋅aTh = 0,5⋅c⋅at
aTh = 0,5
Th = loga(0,5)
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
- Der Satz des Pythagoras: a2+b2=c2
Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a,b und c. Wenn das Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c ist, dann gilt a2+b2=c2 - Umkehrung
Gegeben is ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, wenn a2+b2=c2 gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit der Hypothenuse c.
Für Beispiele siehe Datei “Heftaufschrieb“
Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus, Kosinus, TangensHerunterladen
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/Bildschirmfoto-2021-08-11-um-21.06.50.png)
Definition: In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man zu einem Winkel α des Dreiecks das Streckenverhältnis
Sinus
sin(α)=Gegenkathete von α : Hypotenuse
Kosinus
cos(α)=Ankathete von α : Hypotenuse
Tangens
tan(α)=Gegenkathete von α : Ankathete von α
Für Beispiele siehe Datei “Sinus, Kosinus, Tangens“
Wichtiger Hinweis: Um mit dem Taschenrechner den Sinus, Kosinus oder Tangens zu berechnen muss er auf dem modus deg (degree) sein.
Hier eine Anleitung falls der Taschenrechner nicht auf “DEG” steht:
Du kannst es versuchen mit SHIFT und SETUP,
weil du möglicherweise MODE gar nicht findest.
SHIFT und SETUP sind höchstwahrscheinlich in der obersten Reihe.
Dann WINKELEINHEIT , vermutlich 2
Und dann 1 oder 2 oder 3 nach Bedarf.
VORSICHT: Hinterher wieder zurückschalten!
Im Gegensatz zu anderen Taschenrechnern behält CASIO diese Einstellung, selbst wenn das Gerät ausgeschaltet wird.
Ggf. testen: sin 30° = 0,5 zeigt er nur bei DEG(REE).
Körper
Alle Bilder von Abiweb dort können auch noch weitere Körper gefunden werden.
Kreis
Satz: Für den Umfang eines Kreises mit dem Radius r bzw. dem Durchmesser d gilt
U = 2⋅π⋅r oder U = π ⋅ d
Satz: Für den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r gilt
A=π⋅r2
Für die Kreiszahl π gilt näherungsweise π = 3,14
* ein Kreis ist kein Körper (Der Körper zum kreis wäre die Kugel)
Quader
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/quader-uebersicht-ca-300x292.webp)
O = 2⋅(a⋅b+a⋅c+b⋅c)
V = a⋅b⋅c
Zylinder
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/zylinder-uebersicht-0-ca-207x300.webp)
AGrundfläche=ADeckfläche=π⋅r2
UGrundfläche=UDeckfläche=2⋅π⋅r
AMantelfläche=U⋅h=2⋅π⋅r⋅h
OZylinder=(2⋅π⋅r2)+(2⋅π⋅r⋅h)
VZylinder=Grundfläche⋅Höhe=π⋅r2⋅h
Quadratische Pyramide
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/pyramide-uebersicht-0-ca-283x300.webp)
AGrundfläche=a2
AMantel=4⋅(1/2⋅a⋅hDreieck)
OPyramide= Grundfläche + Mantelfläche =a2+4⋅(1/2⋅a⋅hDreieck)
VPyramide=1/3⋅a2⋅hPyramide
Kegel
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/kegel-uebersicht-0-ca-224x300.webp)
UGrundfläche=2⋅π⋅r
AGrundfläche=π⋅r2
AMantelfläche=π⋅r⋅s
OKegel=G+M=(π⋅r2)+(π⋅r⋅s)
VKegel=1/3⋅(π⋅r2)⋅h
Kugel
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/kugel-ubersicht-ca.webp)
UKugel=2⋅π⋅r=π⋅d
OKugel=4⋅π⋅r2
VKugel=4/3⋅π⋅r3
Stochastische Unabhängigkeit
In manchen Situationen gilt, dass Pa(B) = P(B) für zwei Ereignisse A und B ist. In diesem Fall nennt man A und B unabhängig, andernfalls nennt man A und B stochastisch abhängig. Die Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig wenn die Formel
P(AnB) = P(A)*P(B) gilt
Sind in einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten notiert, kann man die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse A und B prüfen, indem man überprüft ob im Feld für die Wahrscheinlichkeit P(AnB) gerade das Produkt P(A)*P(B) stehtStochastische UnabhängigkeitHerunterladen
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/Bildschirmfoto-2021-08-12-um-12.20.55-edited.png)
Sind in einer Vierfeldertafel die absoluten Häufigkeiten eingetragen, überprüft man den Quotienten der grün makierten Felder gleich dem der roten Felder ist
![](https://calify.net/wp-content/uploads/2021/08/Bildschirmfoto-2021-08-12-um-12.21.10.png)
Sonstiges
Wer nochmal alle Grundlagen aus der 7. Klasse anschauen möchte, kann in diesem Dokument alles zu den folgenden Themen noch einmal nachlesen
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| 174 downloads | 1.2 | Arthur | 01-05-2020 20:30 | Download |
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